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数学高一函数

函数

函数是高中数学的主线。后面的指数函数、对数函数、三角函数、导数、解析几何，几乎都离不开函数思想。学函数不能只背“定义域、值域、奇偶性”这些名词，更要知道每道题该按什么顺序分析。

学习目标

  • 理解函数的定义、定义域、值域、对应关系。
  • 会从解析式和图像两个角度理解函数。
  • 会判断简单函数的单调性、奇偶性和零点。
  • 会把函数与方程、不等式、图像联系起来。

核心概念

1. 什么是函数

设有两个非空数集 A,BA,B，若按某个对应法则 ff，集合 AA 中每一个数 xx 都有唯一确定的数 yy 与它对应，则称 yy 是 xx 的函数，记作

y=f(x),x∈Ay=f(x), \quad x \in A

其中：

  • AA 叫定义域；
  • 所有函数值组成的集合叫值域。

2. 为什么先看定义域

函数题的第一步通常不是算值，而是先看哪些 xx 合法。因为：

  • 分母不能为 0；
  • 偶次根号内要大于等于 0；
  • 实际情境题中变量常有范围限制。

知识点详解

分析函数的基本流程

建议固定用下面这个顺序：

定义域→解析式结构→图像特征→性质判断→应用\text{定义域} \rightarrow \text{解析式结构} \rightarrow \text{图像特征} \rightarrow \text{性质判断} \rightarrow \text{应用}

单调性

单调性描述函数值随 xx 增大时怎样变化。讨论时必须说明区间，不能只说“这个函数递增”。

例如函数

f(x)=x2f(x)=x^2

在

(−∞,0](-\infty,0]

上递减，在

[0,+∞)[0,+\infty)

上递增。

奇偶性

判断奇偶性之前，要先检查定义域是否关于原点对称。

  • 若对定义域内任意 xx，都有
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

则 f(x)f(x) 是偶函数。

  • 若对定义域内任意 xx，都有
f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

则 f(x)f(x) 是奇函数。

零点

函数的零点就是满足

f(x)=0f(x)=0

的实数 xx。从图像看，零点对应函数图像与 xx 轴的交点横坐标。

这也是函数和方程联系最直接的地方。

典型例题

例题 1：求定义域

求函数

f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2}

的定义域。

解析：

分母不能为 0，所以

x−2≠0x-2 \neq 0

即

x≠2x \neq 2

答案：

定义域为

{x∣x≠2}\{x \mid x \neq 2\}

例题 2：判断奇偶性

判断函数

f(x)=x3f(x)=x^3

是否为奇函数。

解析：

先看定义域：一切实数都可以取，定义域关于原点对称。

再计算：

f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)

所以该函数是奇函数。

答案：

f(x)=x3 是奇函数f(x)=x^3 \text{ 是奇函数}

例题 3：讨论单调性

讨论函数

f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x

的单调性。

解析：

先配方：

f(x)=x2−2x=(x−1)2−1f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1

图像是一条开口向上的抛物线，顶点横坐标为 1。

因此在顶点左侧递减，右侧递增。

这类图像题最好把“解析式结构”和“图像形状”对起来看：顶点位置决定分界点，开口方向决定左右两侧的增减变化。

答案：

函数在

(−∞,1](-\infty,1]

上递减，在

[1,+∞)[1,+\infty)

上递增。

易错点

易错点为什么错正确理解
不求定义域直接谈性质忽略了函数“先有意义再讨论”所有性质都建立在定义域上
单调性不写区间把局部性质说成整体性质必须写“在哪个区间递增/递减”
判断奇偶性只代公式没检查定义域是否关于原点对称先查定义域，再代 −x-x
把零点和函数值混淆不清楚零点是自变量零点是使 f(x)=0f(x)=0 的 xx

规则总结

定义域：使解析式有意义的 x 的集合\text{定义域：使解析式有意义的 } x \text{ 的集合} f(−x)=f(x)⇒偶函数f(-x)=f(x) \Rightarrow \text{偶函数} f(−x)=−f(x)⇒奇函数f(-x)=-f(x) \Rightarrow \text{奇函数} f(x)=0⇔x 是函数的零点f(x)=0 \Leftrightarrow x \text{ 是函数的零点}

练习题

  1. 求函数
f(x)=x−3f(x)=\sqrt{x-3}

的定义域。 2. 判断函数

f(x)=x4f(x)=x^4

的奇偶性。 3. 求函数

f(x)=2x−5f(x)=2x-5

的零点。 4. 讨论函数

f(x)=∣x∣f(x)=|x|

的单调性。 5. 某商品进价为每件 20 元，售价为每件 xx 元，卖出数量为 100−2x100-2x 件，写出收入函数并说明自变量的合理范围。

参考答案

x−3≥0⇒x≥3x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3

定义域为

[3,+∞)[3,+\infty)
  1. 偶函数，因为
f(−x)=(−x)4=x4=f(x)f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)
2x−5=0⇒x=522x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}
  1. 在
(−∞,0](-\infty,0]

上递减，在

[0,+∞)[0,+\infty)

上递增。

  1. 收入函数为
R(x)=x(100−2x)R(x)=x(100-2x)

若卖出数量非负，则

100−2x≥0⇒x≤50100-2x \ge 0 \Rightarrow x \le 50

结合售价实际常取正数，可写为

0<x≤500<x \le 50

关联知识

函数思想会继续进入：

  • 不等式 中的恒成立与最值；
  • 三角 中的三角函数图像；
  • 高二高三的导数、解析几何和综合题。
集合不等式