导数

一、知识点核心概念

导数描述函数在某一点附近的变化快慢，本质上反映“函数值随自变量变化的瞬时变化率”。在高中数学里，导数最常见的用途是求切线、研究单调性、判断极值最值、讨论参数和证明不等式。

二、考试里通常怎么考

直接求某个函数的导数
求曲线在某点处的切线方程
根据导数符号判断函数的单调区间
找极值点、最值或最值范围
构造函数后用导数证明不等式

三、知识点讲解（分步骤）

先看函数定义域。后面所有求导和单调性讨论都必须在定义域内进行。
正确求导。多项式、指数、对数、三角函数的求导公式要熟。
若题目求单调区间，就研究 f'(x) 在各区间的正负。
若题目求极值，就找 f'(x)=0 或不可导点，再结合符号变化判断。
若题目求切线，要先求切点处函数值和导数值。

四、常见解题路径


定义域
  -> 求导
  -> 解导数不等式
  -> 单调区间
  -> 极值 / 最值
  -> 参数 / 不等式

1. 切线题

点 x0 处切线斜率是 f'(x0)，切线方程常写成：

y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)

2. 单调性题

看的是导数符号，而不是函数值大小。

3. 极值题

f'(x)=0 只是候选点，不一定就是极值点，还要看导数左右符号是否发生变化。

五、易错点 / 陷阱

忽略定义域，导致单调区间写错
把 f'(x)=0 直接当成极值结论
切线经过的点和切点混淆
最值题只找极值点，不比较端点
构造函数证明不等式时，函数选得不合适

六、公式 / 规则总结

(x^n)' = nx^(n-1)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(ln x)' = 1/x
f'(x)>0 表示函数递增，f'(x)<0 表示函数递减

七、练习题

基础题：求 f(x)=x^3 的导数。

提高题：求 f(x)=x^2-4x 的单调区间。

提高题：求 f(x)=x^2 在 x=1 处的切线方程。

拔高题：求 f(x)=x-ln x 在 x>0 上的最小值。

参考答案：

f'(x)=3x^2
f'(x)=2x-4，所以在 (-∞,2) 上递减，在 (2,+∞) 上递增
f(1)=1，f'(1)=2，切线方程是 y-1=2(x-1)
f'(x)=1-1/x，当 x=1 时导数为 0，且左负右正，所以在 x=1 处取最小值 1

八、复习建议 / 关联知识

导数是高二、高三函数综合的核心工具。复习时建议把“求导公式”“切线模型”“单调性”“极值最值”“构造函数证明不等式”五类题放在一起练，形成统一的思维链，而不是分散记忆。