数列

一、知识点核心概念

数列是按顺序排列的一列数，核心包括通项公式、递推关系、等差数列、等比数列和前 n 项和。

二、知识点讲解

1. 先判断题目给的是通项、递推还是前 n 项和。
2. 等差数列看相邻两项差是否为常数。
3. 等比数列看相邻两项比是否为常数。
4. 求和时选用对应公式，注意首项、公差、公比。
5. 综合题中常把数列和函数、不等式结合。

三、图解 / 示例

等差数列：
an=a1+(n-1)d
Sn=n(a1+an)/2

等比数列：
an=a1q^(n-1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q), q≠1

四、易错点 / 陷阱

• 把项数 n 和项 an 混淆。
• 等比求和公式忘记 q≠1。
• 递推数列没有先求前几项观察规律。

五、公式 / 规则总结

• 等差通项：an=a1+(n-1)d。
• 等差求和：Sn=n(a1+an)/2。
• 等比通项：an=a1q^(n-1)。
• 等比求和：q≠1 时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

六、练习题

基础题：等差数列 a1=2, d=3，求 a5。

提高题：等比数列 a1=1, q=2，求 S5。

拔高题：已知 an=2n-1，判断数列类型并求前 10 项和。

参考答案：

1. a5=2+4×3=14。
2. S5=1+2+4+8+16=31。
3. 是等差数列，S10=10(1+19)/2=100。

七、拓展 / 关联知识

数列常用于递推模型、数学归纳法、函数离散化和高考压轴题中的放缩估计。