数列

数列研究的是“按顺序排列的一列数”的规律。它和函数很像，但函数更偏连续变化，数列更偏离散变化。高一数列的关键，是学会从已知条件中判断规律，再选择通项、递推或求和方法。

学习目标

理解数列、项、通项公式、前 $n$ 项和的含义。
会判断等差数列和等比数列。
会使用等差、等比数列的通项和求和公式。
会根据题目条件选择合适表示方式。

核心概念

1. 什么是数列

按一定顺序排列的一列数叫数列，数列中的每个数叫这一列的项，第 $n$ 项记作

a_n

前 $n$ 项和记作

S_n

2. 数列常见给法

题目通常会这样给数列：

直接给通项公式；
给递推关系；
给前几项，让你观察规律；
给前 $n$ 项和，让你反求通项。

知识点详解

等差数列

若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 $d$ ，则这个数列是等差数列。

通项公式：

a_n=a_1+(n-1)d

前 $n$ 项和公式：

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

等比数列

若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数 $q$ ，则这个数列是等比数列。

通项公式：

a_n=a_1q^{n-1}

前 $n$ 项和公式（ $q \neq 1$ ）：

S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

判断题的基本思路

先看题目给的是通项、递推，还是前几项；
如果是前几项，先看“差”是否稳定，再看“比”是否稳定；
求和题先确认是等差还是等比，避免公式乱套。

典型例题

例题 1：等差数列求项

已知等差数列中

a_1=2,\quad d=3

求 $a_5$ 。

解析：

由等差数列通项公式：

a_5=a_1+(5-1)d

代入得

a_5=2+4 \times 3=14

答案：

a_5=14

例题 2：等比数列求和

已知等比数列中

a_1=1,\quad q=2

求 $S_5$ 。

解析：

前 5 项依次为

1,2,4,8,16

相加可得

S_5=31

也可用公式：

S_5=\frac{1(1-2^5)}{1-2}=31

答案：

S_5=31

例题 3：由通项判断类型并求和

已知

a_n=2n-1

判断数列类型并求前 10 项和。

解析：

因为

a_n=2n-1

是关于 $n$ 的一次式，所以相邻两项差为常数：

a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2

因此这是等差数列，其中

a_1=1,\quad d=2,\quad a_{10}=19

所以

S_{10}=\frac{10(1+19)}{2}=100

答案：

这是等差数列，

S_{10}=100

易错点

易错点	为什么错	正确理解
把 $a_n$ 和 $S_n$ 混淆	一个表示第 $n$ 项，一个表示前 $n$ 项和	审题时先认清目标
等比求和公式直接套	忽略条件 $q \neq 1$	先判断公比是否为 1
只看前两项就下结论	规律观察不充分	至少检查相邻项差或比是否稳定
求项数时 $n-1$ 写错	对通项结构不熟	从第 1 项开始逐项对应检查

规则总结

a_n=a_1+(n-1)d

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

a_n=a_1q^{n-1}

S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad (q \neq 1)

练习题

等差数列中

a_1=5,\ d=-2

求 $a_6$ 。 2. 等比数列中

a_1=3,\ q=2

求 $a_4$ 。 3. 等差数列中

a_1=1,\ a_{10}=19

求 $S_{10}$ 。 4. 判断数列

2,4,8,16,\dots

是什么数列，并写出通项公式。 5. 某人第一天存 10 元，以后每天比前一天多存 2 元，求前 7 天共存多少钱。

参考答案

a_6=5+(6-1)(-2)=-5

a_4=3 \cdot 2^3=24

S_{10}=\frac{10(1+19)}{2}=100

等比数列，通项公式可写为

a_n=2^n

这是等差数列求和问题，

a_1=10,\ d=2,\ a_7=22

所以

S_7=\frac{7(10+22)}{2}=112

关联知识

数列和函数、不等式常一起出现。后续更复杂的递推、放缩和归纳问题，都建立在这一页的基础上。