直圆

直线与圆是解析几何的起点。高二这一章最重要的，不只是会写几个方程，而是学会把几何对象转成代数表达，再从代数结果读回几何关系。

学习目标

会根据条件选择直线方程的合适形式。
会写圆的标准方程和一般方程，并能完成配方。
会利用点到直线距离判断直线与圆的位置关系。
会通过联立方程求交点、切线等问题。

核心概念

1. 直线方程要按题目结构选

常见形式有：

点斜式；
两点式；
截距式；
一般式。

不是所有题都适合先写成

y=kx+b

若直线斜率不存在，例如竖直直线，就应该直接写成

x=a

2. 圆的标准方程

若圆心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ ，则圆的标准方程为

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

这条式子最适合直接读圆心和半径。

知识点详解

点到直线距离

点 $(x_0,y_0)$ 到直线

Ax+By+C=0

的距离为

d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C \rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

直线与圆的位置关系

若圆心到直线距离为 $d$ ，圆半径为 $r$ ，则：

若 $d<r$ ，则相交；
若 $d=r$ ，则相切；
若 $d>r$ ，则相离。

这是直圆问题中最常用的结构判断。

上图把三种位置关系放在同一个坐标系里：

直线 $x = 2$ 到圆心距离小于半径，所以与圆相交；
直线 $x = 3$ 到圆心距离等于半径，所以与圆相切；
直线 $x = 4.2$ 到圆心距离大于半径，所以与圆相离。

做题时先判断“距离和半径”的大小关系，通常比直接联立更稳。

求交点的常用方法

先写直线方程和圆方程；
联立消元；
解出交点坐标；
若题目问弦长、对称性、切点，再继续处理。

典型例题

例题 1：写圆方程

写出圆心为 $(1,2)$ ，半径为 3 的圆方程。

解析：

直接代入标准方程：

(x-1)^2+(y-2)^2=3^2

答案：

(x-1)^2+(y-2)^2=9

例题 2：判断直线与圆的位置关系

判断直线

x=4

与圆

x^2+y^2=9

的位置关系。

解析：

圆心为 $(0,0)$ ，半径为 3。

直线 $x=4$ 到圆心的距离是 4，因此

4>3

所以直线与圆相离。

答案：

相离。

例题 3：过原点作圆的切线

求过点 $(0,0)$ 且与圆

(x-2)^2+y^2=1

相切的直线。

解析：

设过原点的直线为

y=kx

化为一般式：

kx-y=0

圆心为 $(2,0)$ ，半径为 1。由相切条件，圆心到直线距离等于半径：

\frac{\lvert 2k \rvert}{\sqrt{k^2+1}}=1

两边平方得

\frac{4k^2}{k^2+1}=1

即

3k^2=1

所以

k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}

答案：

切线为

y=\frac{\sqrt{3}}{3}x

或

y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x

易错点

易错点	为什么错	正确理解
圆的一般方程配方出错	展开后整理不熟	配方时注意两步：先分组，再补平方
判断相切漏掉“距离等于半径”	只会联立不会结构判断	能用距离法时通常更快
斜率不存在漏讨论	默认所有直线都能写成 $y=kx+b$	竖直直线应单独写
求交点时只解出一个变量	没有代回原式	坐标点必须有两个分量

规则总结

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C \rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

d<r \Rightarrow \text{相交}, \quad d=r \Rightarrow \text{相切}, \quad d>r \Rightarrow \text{相离}

练习题

写出圆心为 $(2,-1)$ 、半径为 4 的圆方程。
判断直线

y=3

与圆

x^2+y^2=4

的位置关系。 3. 求点 $(1,2)$ 到直线

3x+4y-5=0

的距离。 4. 写出过点 $(1,1)$ 且斜率为 2 的直线方程。 5. 说明为什么很多直圆位置关系题优先考虑“距离法”。

参考答案

(x-2)^2+(y+1)^2=16

圆心到直线距离为 3，半径为 2，所以相离。

d=\frac{\lvert 3+8-5 \rvert}{5}=\frac{6}{5}

y-1=2(x-1)

因为距离法不必先联立方程，通常计算更短、结构更清晰。

关联知识

直圆是圆锥和解析几何综合题的基础。学好这一页，后面的联立与弦长问题会顺很多。