集合

集合是高中数学的语言基础。后面学函数定义域、不等式解集、概率事件时，都会用到集合表达。如果集合这一章只停留在“会算交并补”，后面很多题都会看得懂字、读不懂条件。

学习目标

• 理解什么是集合、元素、空集、全集。
• 会区分“元素属于集合”和“集合包含集合”。
• 会求交集、并集、补集，并能处理简单参数问题。
• 会用集合语言表达范围、解集和条件关系。

核心概念

1. 什么是集合

把一些确定的对象看成一个整体，这个整体叫集合。集合中的每个对象叫元素。

“确定”很重要。例如“所有小于 5 的正整数”可以构成集合，因为元素明确；“长得好看的人”一般不能构成数学中的集合，因为标准不确定。

2. 元素与集合、集合与集合

这是本章最容易混淆的地方。

3. 常见集合运算

设全集为 $U$，集合 $A,B \subseteq U$。

• 交集：同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素组成的集合，记作 $A \cap B$。
• 并集：属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合，记作 $A \cup B$。
• 补集：属于全集 $U$ 但不属于 $A$ 的元素组成的集合，记作 $C_UA$ 或 $A$ 在 $U$ 中的补集。

知识点详解

集合的表示方法

常见有三种：

1. 列举法：把元素一个个写出来，如 $\{1,2,3\}$。
2. 描述法：用共同特征表示，如 $\{x \mid x>1\}$。
3. 数轴区间思想：在后面函数和不等式中常与集合结合使用。

子集与真子集

若集合 $A$ 的每个元素都属于集合 $B$，则 $A$ 是 $B$ 的子集，记作

若 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$，则 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作

空集要单独考虑

空集记作

空集没有任何元素，但它是任何集合的子集：

参数题里，只要题目出现“集合为空集”“交集为空集”“子集关系恒成立”，都要主动想到空集这个特殊情况。

典型例题

例题 1：求交集和并集

已知

求 $A \cap B$ 与 $A \cup B$。

解析：

交集找“两个集合里都有”的元素，所以是 $2,3$。

并集找“至少在一个集合里出现过”的元素，所以是 $1,2,3,4$。

答案：

例题 2：描述法求交集

已知

求 $A \cap B$。

解析：

交集表示同时满足两个条件，因此要同时满足 $x>1$ 和 $x<4$。

所以

答案：

例题 3：空集参数题

若

且 $A=\varnothing$，求 $a$ 的取值范围。

解析：

集合 $A$ 中的元素要满足“严格大于 $a$，又严格小于 3”。如果这样的 $x$ 不存在，说明左端已经不小于右端。

因此必须有

答案：

易错点

规则总结

练习题

1. 已知 $A=\{1,3,5\}$，$B=\{3,4,5\}$，求 $A \cap B$ 和 $A \cup B$。
2. 已知 $A=\{x \mid x \ge 0\}$，$B=\{x \mid x<2\}$，求 $A \cap B$。
3. 判断 $\{1\} \in \{1,\{1\},2\}$ 是否成立。
4. 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，$A=\{2,4\}$，求 $A$ 在 $U$ 中的补集。
5. 若 $\{x \mid x>a\} \cap \{x \mid x<1\}=\varnothing$，求 $a$ 的范围。

参考答案

3. 成立，因为集合 $\{1\}$ 本身是右边集合的一个元素。

关联知识

集合语言会直接进入：

• 函数 里的定义域和值域；
• 不等式 里的解集表示；
• 概率中的事件表示。

建议学完本页后，继续看 函数。