向量

一、知识点核心概念

平面向量是既有大小又有方向的量，核心是线性运算、坐标表示、数量积和几何应用。

二、知识点讲解

1. 用有向线段表示向量，注意起点不影响自由向量。
2. 向量加减法可用三角形法则和平行四边形法则。
3. 建立坐标后，把几何关系转为代数计算。
4. 数量积用于求夹角、投影和垂直关系。
5. 证明共线或垂直时，优先考虑坐标或数量积。

三、图解 / 示例

向量坐标：
a=(x1,y1), b=(x2,y2)
a+b=(x1+x2, y1+y2)
a·b=x1x2+y1y2

a ⟂ b <=> a·b=0

四、易错点 / 陷阱

• 混淆向量相等和线段长度相等。
• 数量积结果是数，不是向量。
• 判断垂直时忘记零向量的特殊性。

五、公式 / 规则总结

• |a|=√(x^2+y^2)。
• a·b=|a||b|cosθ。
• a 与 b 共线：a=λb。
• a 与 b 垂直：a·b=0。

六、练习题

基础题：已知 a=(1,2), b=(3,-1)，求 a+b。

提高题：求 a·b。

拔高题：判断 a=(2,3), b=(6,9) 是否共线。

参考答案：

1. a+b=(4,1)。
2. a·b=1×3+2×(-1)=1。
3. 共线，因为 b=3a。

七、拓展 / 关联知识

向量是连接代数和几何的工具，在解析几何、立体几何、物理力学中都很常用。