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数学高一向量

向量

向量把“长度”和“方向”放进同一个对象里，是连接代数与几何的重要工具。高一学向量，不只是多学一种写法，而是开始用一种更统一的方法处理位移、夹角、平行、垂直和几何证明。

学习目标

  • 理解向量、零向量、单位向量、相等向量的含义。
  • 会进行向量加法、减法和数乘运算。
  • 会用坐标表示向量，并进行数量积计算。
  • 会利用向量判断共线、垂直，并解决简单几何问题。

核心概念

1. 什么是向量

既有大小又有方向的量叫向量。常用有向线段表示。

例如“向东走 3 米”和“向西走 3 米”，长度一样，但方向不同，所以是不同向量。

2. 自由向量思想

只要大小相等、方向相同，起点位置可以不同，仍看作同一个自由向量。

3. 数量积

设向量 a,b\mathbf{a},\mathbf{b} 的夹角为 θ\theta，则它们的数量积定义为

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

数量积的结果是一个数，不是向量。

知识点详解

向量的坐标运算

若

a=(x1,y1),b=(x2,y2)\mathbf{a}=(x_1,y_1), \quad \mathbf{b}=(x_2,y_2)

则：

a+b=(x1+x2, y1+y2)\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2,\ y_1+y_2) a−b=(x1−x2, y1−y2)\mathbf{a}-\mathbf{b}=(x_1-x_2,\ y_1-y_2) a⋅b=x1x2+y1y2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2

共线与垂直

  • 若存在实数 λ\lambda，使
a=λb\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}

则 a\mathbf{a} 与 b\mathbf{b} 共线。

  • 若
a⋅b=0\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

且两个向量都不是零向量，则它们垂直。

为什么向量好用

很多几何题里，图形关系不好直接证明，但一旦建立坐标或向量表示，平行、垂直、长度、夹角都可以转成代数计算。

典型例题

例题 1：向量加法

已知

a=(1,2),b=(3,−1)\mathbf{a}=(1,2), \quad \mathbf{b}=(3,-1)

求

a+b\mathbf{a}+\mathbf{b}

解析：

对应坐标分别相加：

a+b=(1+3, 2+(−1))=(4,1)\mathbf{a}+\mathbf{b}=(1+3,\ 2+(-1))=(4,1)

答案：

(4,1)(4,1)

例题 2：求数量积

已知

a=(1,2),b=(3,−1)\mathbf{a}=(1,2), \quad \mathbf{b}=(3,-1)

求

a⋅b\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

解析：

a⋅b=1×3+2×(−1)=3−2=1\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1 \times 3+2 \times (-1)=3-2=1

答案：

11

例题 3：判断共线

判断

a=(2,3),b=(6,9)\mathbf{a}=(2,3), \quad \mathbf{b}=(6,9)

是否共线。

解析：

因为

b=3a\mathbf{b}=3\mathbf{a}

所以 b\mathbf{b} 是 a\mathbf{a} 的实数倍，因此二者共线。

答案：

共线。

易错点

易错点为什么错正确理解
把向量和长度混淆只看大小不看方向向量必须同时看大小和方向
数量积结果写成向量不清楚“积”是什么类型数量积结果是实数
看到点坐标就直接相减出错没区分点和向量向量可由终点减起点得到
用 a⋅b=0\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 判断垂直时忘记零向量零向量方向不确定题目里要留意是否出现零向量

规则总结

∣a∣=x2+y2|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2} a⋅b=x1x2+y1y2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2 a∥b⇔a=λb\mathbf{a}\parallel \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b} a⊥b⇒a⋅b=0\mathbf{a}\perp \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

练习题

  1. 已知
a=(2,1), b=(−1,4)\mathbf{a}=(2,1),\ \mathbf{b}=(-1,4)

求

a+b\mathbf{a}+\mathbf{b}
  1. 求
a⋅b\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
  1. 求向量
a=(3,4)\mathbf{a}=(3,4)

的模。 4. 判断

(1,2) 与 (2,4)(1,2) \text{ 与 } (2,4)

是否共线。 5. 判断

(1,2) 与 (2,−1)(1,2) \text{ 与 } (2,-1)

是否垂直。

参考答案

(2,1)+(−1,4)=(1,5)(2,1)+(-1,4)=(1,5)
a⋅b=2×(−1)+1×4=2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2 \times (-1)+1 \times 4=2
∣a∣=32+42=5|\mathbf{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5
  1. 共线，因为
(2,4)=2(1,2)(2,4)=2(1,2)
  1. 垂直，因为
(1,2)⋅(2,−1)=1×2+2×(−1)=0(1,2)\cdot(2,-1)=1 \times 2+2 \times (-1)=0

关联知识

向量会继续进入解析几何、立体几何和物理位移分析。建议与 三角 一起复习，因为夹角和数量积之间联系很强。

三角数列