不等式

不等式研究“范围”和“大小关系”。高一不等式的重要性，不只在于会解几个式子，更在于它训练你判断区间、分析最值、处理条件限制。很多函数题、数列题、解析几何题，最后都会回到不等式。

学习目标

掌握不等式的基本性质。
会解一元一次不等式和一元二次不等式。
会使用基本不等式求最值，并检查使用条件。
会把“恒成立”问题转化为范围或最值问题。

核心概念

1. 不等式性质

若

a>b

则：

a+c>b+c

若

c>0

则

ac>bc

若

c<0

则

ac<bc

乘除负数要变号，这是最基础也最容易错的一步。

2. 解集

满足不等式的所有实数构成的集合，叫这个不等式的解集。写答案时，不能只写“比大小”，要写成区间或集合形式。

知识点详解

一元二次不等式的标准流程

解

ax^2+bx+c>0 \quad (a \neq 0)

时，建议固定流程：

\text{化标准形式} \rightarrow \text{求对应方程根} \rightarrow \text{画数轴} \rightarrow \text{结合开口写解集}

记忆口令可以是：

开口向上：大于零取两边，小于零取中间；
开口向下：大于零取中间，小于零取两边。

基本不等式

对于正数 $a,b$ ，有

a+b \ge 2\sqrt{ab}

当且仅当

a=b

时取等号。

这个结论常用于求最小值，但前提必须是

a>0,\quad b>0

典型例题

例题 1：解一元一次不等式

解不等式

2x-3>5

解析：

两边同时加 3：

2x>8

两边同时除以 2：

x>4

答案：

x>4

例题 2：解一元二次不等式

解不等式

x^2-5x+6 \le 0

解析：

先因式分解：

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

对应方程的两个根是 2 和 3。抛物线开口向上，因此“小于等于 0”取中间部分。

答案：

2 \le x \le 3

例题 3：用基本不等式求最值

若

x>0

求

x+\frac{4}{x}

的最小值。

解析：

因为 $x>0$ ，所以 $x$ 和 $\dfrac{4}{x}$ 都是正数，可以使用基本不等式：

x+\frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4

当且仅当

x=\frac{4}{x}

时取等号，所以

x=2

答案：

最小值为

4

当

x=2

时取得。

易错点

易错点	为什么错	正确理解
乘除负数不变号	把等式变形习惯直接套过来	不等号方向必须改变
二次不等式端点开闭写错	没看是 $>$ 、 $\ge$ 还是 $<$ 、 $\le$	等于能否取到决定端点是否包含
基本不等式直接用	忽略正数条件	先检查两个量是否都大于 0
只会算不会写解集	没把范围转成规范答案	用区间或集合形式写清楚

规则总结

a>b,\ c<0 \Rightarrow ac<bc

a+b \ge 2\sqrt{ab} \quad (a>0,b>0)

\text{开口向上：}>0\text{ 取两边，}<0\text{ 取中间}

练习题

解不等式

3x+1 \le 7

解不等式

x^2-3x-4>0

x>0

求

x+\frac{9}{x}

的最小值。 4. 判断：若

a>b

则

-2a>-2b

是否正确，并说明理由。 5. 若对任意实数 $x$ ，不等式

x^2+mx+1>0

恒成立，写出参数 $m$ 应满足的条件。

参考答案

3x \le 6 \Rightarrow x \le 2

x^2-3x-4=(x-4)(x+1)

开口向上，故

x<-1 \text{ 或 } x>4

x+\frac{9}{x} \ge 2\sqrt{9}=6

最小值为 6，当

x=3

时取得。

不正确。因为乘以负数后不等号要变向，应为

-2a<-2b

要使开口向上的二次函数恒大于 0，需要判别式小于 0：

\Delta=m^2-4<0

所以

-2<m<2

关联知识

不等式会和函数的最值问题、数列的放缩问题持续结合。学完这一页，建议回头配合函数图像一起复习。