概率

概率研究随机事件发生的可能性。高二概率的关键，不只是会套公式，而是先把试验过程和样本空间想清楚。很多失分不是因为公式不会，而是因为“总情况数”根本数错了。

学习目标

任何概率题，第一步都应先问：

当样本空间中每个基本事件等可能发生时，事件 $A$ 的概率为

P(A)=\frac{\text{事件 } A \text{ 包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}

条件概率不是重新算一遍普通概率，而是在“某事件已经发生”的前提下缩小样本空间。

公式为

P(A \mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B)>0)

这两个概念很容易混淆。

概念	含义	公式特点
独立事件	一个事件是否发生不影响另一个	$P(AB)=P(A)P(B)$
互斥事件	两事件不能同时发生	$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

互斥不等于独立，独立也不等于互斥。

若一次试验成功概率为 $p$ ，独立重复进行 $n$ 次，随机变量 $X$ 表示成功次数，则

X \sim B(n,p)

且

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

抛一枚硬币，正面朝上的概率是多少？

解析：

样本空间为 $\{\text{正},\text{反}\}$ ，且两种结果等可能。

有利结果数为 1，总结果数为 2。

答案：

\frac{1}{2}

袋中有 3 个红球、2 个蓝球，随机取 1 个，求取到红球的概率。

解析：

总球数为 5，红球有 3 个，且每个球被取到的可能性相同。

答案：

\frac{3}{5}

某事件成功概率为 0.6，独立试验 3 次，求恰好成功 2 次的概率。

解析：

这是二项分布模型，其中

n=3,\quad p=0.6,\quad k=2

所以

P(X=2)=\binom{3}{2}(0.6)^2(0.4)

计算得

3 \times 0.36 \times 0.4=0.432

答案：

0.432

P(A)=\frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}

P(A \mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

P(AB)=P(A)P(B) \quad \text{(独立事件)}

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

\frac{1}{5}

\binom{2}{1} \times 0.7 \times 0.3=0.42

概率与统计、排列组合和实际决策模型联系紧密。后续综合题里，常把概率计算和数据解释一起考。