一、学习目标

• 理解分数乘整数、分数乘分数的意义。
• 掌握分数乘法的计算方法，能先约分再计算。
• 会求一个数的几分之几是多少，并能解决连续量和部分量问题。
• 能运用乘法运算律进行简便计算，并检查结果是否合理。

二、核心概念

分数乘法表示“几个相同分数的和”或“一个数量的几分之几”。例如，$3\times\frac{2}{5}$ 表示 3 个 $\frac{2}{5}$ 相加；$\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}$ 表示 $\frac{2}{5}$ 的 $\frac{3}{4}$。

当两个非负数相乘时，一个因数小于 1，积通常小于另一个非零因数；一个因数大于 1，积通常大于另一个正因数。这个规律可以用来估算和验算。

三、重点知识

$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad(b\ne0,d\ne0)$$

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 分数乘整数

计算 $\frac{3}{8}\times 4$，可以把它理解为 4 个 $\frac{3}{8}$ 相加：

$$\frac{3}{8}\times4=\frac{3\times4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

也可以先约分：4 与 8 的最大公因数是 4，所以结果为 $\frac{3}{2}$。

2. 分数乘分数

计算时把分子相乘作为新分子，把分母相乘作为新分母。为了减少计算量，应先交叉约分或分别约分，再相乘。

$$\frac{7}{12}\times\frac{8}{21}=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$

3. 找准单位“1”

“六（1）班有 40 人，女生占全班的 $\frac{3}{5}$”，全班人数是单位“1”，女生人数为：

$$40\times\frac{3}{5}=24\text{（人）}$$

4. 运算律与简便计算

整数乘法的交换律、结合律和分配律同样适用于分数乘法。例如：

$$\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\right)\times12 =\frac{5}{6}\times12+\frac{1}{4}\times12 =10+3=13$$

五、易错点

六、例题

1. 直接计算

计算 $\frac{15}{28}\times\frac{14}{25}$。

解析： 15 与 25 约分得 3 和 5，14 与 28 约分得 1 和 2。

$$\frac{15}{28}\times\frac{14}{25}=\frac{3\times1}{2\times5}=\frac{3}{10}$$

答案： $\frac{3}{10}$。

2. 实际问题

一根绳子长 18 米，第一次用去全长的 $\frac{1}{3}$，第二次用去剩下部分的 $\frac{1}{4}$。第二次用去多少米？

解析： 第一次后剩下全长的 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，第二次用去：

$$18\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=3\text{（米）}$$

答案： 3 米。

七、练习题和答案

1. 计算 $\frac{5}{12}\times18$。
2. 计算 $\frac{9}{14}\times\frac{7}{15}$。
3. 一本书有 240 页，小明第一周读了全书的 $\frac{3}{8}$，读了多少页？
4. 判断：$\frac{7}{8}\times\frac{9}{7}$ 的积一定小于 $\frac{7}{8}$。
5. 一桶油重 30 千克，先用去 $\frac{2}{5}$，再用去剩余油的 $\frac{1}{3}$，桶中还剩多少千克？

参考答案

1. $\frac{15}{2}$。
2. $\frac{3}{10}$。
3. $240\times\frac{3}{8}=90$（页）。
4. 错。$\frac{9}{7}>1$，积为 $\frac{9}{8}$，大于 $\frac{7}{8}$。
5. $30\times(1-\frac{2}{5})\times(1-\frac{1}{3})=12$（千克）。