一、学习目标

• 通过放物品的活动理解鸽巢原理的基本形式。
• 能找出问题中的“物体”和“鸽巢”，判断至少数。
• 会用平均分、余数和反证法解释结论。
• 能解决颜色、月份、余数、抽取保证等简单实际问题。

二、核心概念

把多于 $n$ 个的物体放进 $n$ 个鸽巢中，不论怎样放，至少有一个鸽巢中放入不少于 2 个物体。

更一般地，把 $m$ 个物体放入 $n$ 个鸽巢，至少有一个鸽巢中物体数不少于：

$$\left\lceil\frac{m}{n}\right\rceil$$

符号 $\lceil x\rceil$ 表示“不小于 $x$ 的最小整数”。小学阶段可用“先平均分，有余数再给其中一些鸽巢各加 1”来理解。

三、重点知识

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 基本鸽巢原理

把 4 支铅笔放进 3 个笔筒。假设每个笔筒最多放 1 支，那么最多只能放 3 支，与实际有 4 支矛盾，所以至少有一个笔筒放了 2 支或更多。

2. 用平均分求“至少数”

把 13 本书放进 4 个书架：

$$13\div4=3\cdots1$$

先让每个书架放 3 本，还剩 1 本必须放入某个书架，因此至少有一个书架放 $3+1=4$ 本。

3. 找隐藏的鸽巢

“任意 13 人中至少有 2 人出生月份相同”，物体是 13 人，鸽巢是 12 个月。“整数除以 5 的余数”问题中，鸽巢是 0、1、2、3、4 这 5 类余数。

4. 抽取保证问题

要求“至少取多少个才能保证”时，要先考虑最不利情况。例如盒中有红、黄、蓝三种颜色的球，要保证至少 2 个同色，最不利时先各取 1 个，共 3 个，再取 1 个必与某种颜色相同，所以至少取 4 个。

五、易错点

六、例题

1. 平均分问题

六（1）班有 37 名学生，至少有多少名学生的出生月份相同？

解析： 12 个月是 12 个鸽巢。

$$37\div12=3\cdots1$$

因此至少有一个月有 $3+1=4$ 名学生出生。

答案： 至少 4 名。

2. 抽取问题

袋中有足够多的红、白、黑三种颜色的袜子。至少取出多少只，才能保证有 3 只同色？

解析： 最不利时每种颜色先取 2 只，共 $2\times3=6$ 只；再取 1 只，就会使某种颜色达到 3 只。

答案： 至少 7 只。

七、练习题和答案

1. 把 9 个苹果放入 4 个篮子，至少有一个篮子放几个苹果？
2. 任意 6 个整数中，至少有几个整数除以 5 的余数相同？
3. 有红、黄两种颜色的小球，至少摸出几个才能保证有 4 个同色？
4. 判断：把 10 本书放进 3 个抽屉，一定有一个抽屉恰好放 4 本。
5. 六年级有 121 名学生，至少有多少人的生日在同一个月？

参考答案

1. $9\div4=2\cdots1$，至少 3 个。
2. 余数有 5 类，$6\div5=1\cdots1$，至少 2 个。
3. 最不利时每种颜色各 3 个，再摸 1 个，至少摸 $3\times2+1=7$ 个。
4. 错。只能保证至少有一个抽屉放不少于 4 本，不保证恰好 4 本。
5. $121\div12=10\cdots1$，至少 11 人。